Monte Carlo integration (蒙地卡羅積分) | 就愛喝咖啡
![Monte Carlo integration (蒙地卡羅積分)](https://i.imgur.com/B2oemyF.jpg)
2007年11月12日—蒙地卡羅積分是一個能夠求積分近似值的方法。這個方法應該有很多應用吧,我印像最深刻的是影像合成中的raytracing演算法(可用於計算一個點受到的 ...
![Monte Carlo integration (蒙地卡羅積分)](https://i.imgur.com/B2oemyF.jpg)
蒙地卡羅積分是一個能夠求積分近似值的方法。這個方法應該有很多應用吧,我印像最深刻的是影像合成中的ray tracing演算法(可用於計算一個點受到的照度)。因為學弟的論文可能會用到這個方法,我曾經學過但是有點忘了,而且竟然找不太到中文的資源,所以復習一下順便做一下筆記。
假設有一個對x的定積分式
如下圖,如果f為折線的函式,則黃色區塊的面積即為自0到1積分的結果。
當然,我們很容易可以利用三角形面積公式,或者對f求定積分,而算出黃色區域的面積。然而,假設我們沒有這樣的先備知識,或者黃色區域的面積是難以求得的,那要怎麼辦呢?
跟據Monte Carlo method的想法,我們可以在包函定積分區域的一個範圍內,均勻取n個點。假設n=100, 且我們取的範圍是 [1]
令[tex]n*[/tex]為落在黃色區域內的點數,V為隨機取點的區域面積,而I為黃色區域面積,我們可以求得I的近似值。<br />[tex]I approx frac{n*}{n}V[/tex]<br /> 這個應該很容易可以理解,我們在面積為1的區域中,隨機取了1000個點,若有502個點落在黃色區域中,我們可以估計黃色區域的面積近似於0.502。理論上n的數字越大,這個近似值會越準。但是上述的方法太慢了,利用高中數學就可以想到一個更快的方法 :)
令 [tex]g(x) = left{egin{array}{ll} 1 & extrm{,if x is in the domain of f(x)} 0 & extrm{,else} end{array} ight .[/tex] 則
[tex]I = int_abg(x)f(x)dx = frac{1}{v}int_abg(x)...
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