蒙特卡洛积分 | 就愛喝咖啡
![蒙特卡洛积分](https://i.imgur.com/B2oemyF.jpg)
蒙特卡洛是一类算法的统称,估计积分只是其中的一个应用,而积分计算在图形渲染起到非常重要的作用,本篇文章只介绍蒙特卡洛在积分估计上的应用。如果你没有一定的概率论 ...
![蒙特卡洛积分](https://i.imgur.com/B2oemyF.jpg)
蒙特卡洛积分,并不是指一种名叫蒙特卡洛的积分,而是采用蒙特卡洛法来估计积分。蒙特卡洛是一类算法的统称,估计积分只是其中的一个应用,而积分计算在图形渲染起到非常重要的作用,本篇文章只介绍蒙特卡洛在积分估计上的应用。
如果你没有一定的概率论基础,我觉得本篇文章不适合你。“背景知识”部分会概述蒙特卡洛法用到的数学理论知识,内容在《概率论与数理统计,浙江大学第4版》中都有涉及,以便你更好的理解后面介绍的原理。“算法初识”部分主要是抛砖引玉,会通过一个例子来解释蒙特卡洛的核心思想,在“积分估计”部分会详细阐述蒙特卡洛估计积分的方法及其数学原理。蒙特卡洛法中重要的一点是生成指定概率分布的随机数,“随机数”部分会阐述怎么生成符合指定分布的随机数。蒙特卡洛积分估计的优点在于它很简单,很容易扩展到多维的情况,但问题在于收敛速度较慢,而重要性采样和拟蒙特卡洛就是要了加速估计的收敛速度,直观的结果就是在相同的采样数下误差更小。“重要性采样”,解决的是怎么设计最优的概率分布的问题。“拟蒙特卡洛”解决的是如何消除随机数产生的聚集问题,以缩减误差。
为了方便读者的理解,本篇文章会统一符号描述,被积函数采用fleft( x ight)小写形式,被积函数的积分采用Fleft( x ight)大写形式,概率密度函数采用pdfleft( x ight),累积概率分布函数采用cdfleft( x ight),大写的X,Y等表示随机变量,小写的x,y等表示具体的实数,n表示样本数,N表示维度。
推荐阅读《Physically based rendering: From theory to implementation》[1],《概率论与数理统计,浙江大学第4版》[2],《Advanced global illumination》[7]这三本书,以及网上Scratchapixel 2.0[1][3]中对蒙特卡洛...
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